Algèbre et divisibilité - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

1. Vérifier que \(n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4\) .

2. En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de \(n^2+3n-6\) par \(n+5\) .

3. Peut-on faire de même si on prend  \(n-2\) comme diviseur ? Justifier.

Solution

1. On a : \((n+5)(n-2)+4=n^2-2n+5n-10+4=n^2+3n-6\)
donc \(n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4\) .

2. On a : \(4 \geqslant 0\) et \(4-1\) , ce qui est toujours vrai car \(n \in \mathbb{N}\) .
Ainsi, \(n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4\) avec  \(0 \leqslant 4, donc cette écriture correspond à la division euclidienne de  \(n^2+3n-6\)  par  \(n+5\) . Le quotient est  \(n-2\)  et le reste vaut  \(4\) .

3. On a : \(4 \geqslant 0\) et \(46\) . L'écriture \(n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4\) est donc la division euclidienne de \(n^2+3n-6\) par \(n-2\) si, et seulement si, \(n>6\) . Pour les autres valeurs possibles de \(n\) , il faut faire au cas par cas.