Algèbre et divisibilité - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ .

1. Vérifier que $n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4$ .

2. En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de $n^2+3n-6$ par $n+5$ .

3. Peut-on faire de même si on prend  $n-2$ comme diviseur ? Justifier.

Solution

1. On a : $(n+5)(n-2)+4=n^2-2n+5n-10+4=n^2+3n-6$
donc $n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4$ .

2. On a : $4⩾0$ et \(4-1\) , ce qui est toujours vrai car $n\in \mathbb{N}$ .
Ainsi, $n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4$ avec  \(0 \leqslant 4, donc cette écriture correspond à la division euclidienne de  $n^2+3n-6$  par  $n+5$ . Le quotient est  $n-2$  et le reste vaut  $4$ .

3. On a : $4⩾0$ et \(46\) . L'écriture $n^2+3n-6=(n+5)(n-2)+4$ est donc la division euclidienne de $n^2+3n-6$ par $n-2$ si, et seulement si, $n>6$ . Pour les autres valeurs possibles de $n$ , il faut faire au cas par cas.